Question

（2010•崇明縣二模）在四棱錐S-OABC中，SO⊥底面OABC，底面OABC為正方形．SO=OA=2，
點P滿足

AP

=λ

AS

，D為BC的中點．
（1）當λ=

1

2

時，求二面角P-OB-A的大小；
（2）是否存在λ∈[0，1]，使

OP

⊥

SD

，若存在 求出λ的值；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：分別以OA、OC、OS為x、y、z軸建立空間直角坐標系
（1）求出各對應點的坐標以及平面POB的法向量為

n

=(x，y，z)的坐標，即可求出二面角P-OB-A的大小；
（2）假設存在，由

AP

=λ

AS

得到關于λ的方程，再結合

OP

⊥

SD

，即可求出結論．

解答：解：如圖分別以OA、OC、OS為x、y、z軸建立空間直角坐標系
（1）可知

OS

=(0，0，2)，

OP

=(1，0，1)，

OB

=(2，2，0)
設平面POB的法向量為

n

=(x，y，z)由

n • OP =0 n • OB =0

得

x+y=0 x+z=0

可得

n

=(-1，1，1)
記二面角P-OB-A的平面角為θ，cosθ=

3

3

二面角P-OB-A的平面角為arccos

3

3

（2）設點P為（x，0，z），

AS

=(-2，0，2)，

AP

=(x-2，0，z)
由

AP

=λ

AS

得

x-2=-2λ z=2λ

，

x=2-2λ z=2λ

，
∵

SD

=(1，2，-2)，

OP

=(2-2λ，0，2λ)，

SD

•

OP

=0得λ=

1

3

點評：本題主要考查空間向量在平面間的夾角的應用．向量法是解答和證明立體幾何平行、垂直關系及夾角常用的方法，建立適當的坐標系，求出相應直線的方向向量及平面的法向量是解答的關鍵．