Question

已知點A，B分別是射線l₁：y=x（x≥0），l₂：y=-x（x≥0）上的動點，O為坐標原點，且△OAB的面積為定值2．
（I）求線段AB中點M的軌跡C的方程；
（II）過點N（0，2）作直線l，與曲線C交于不同的兩點P，Q，與射線l₁，l₂分別交于點R，S，若點P，Q恰為線段RS的兩個三等分點，求此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）通過設A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂），M（x，y），建立M與AB的關系，繼而轉化為x與y的關系，整理即可得到所以點M的軌跡方程．
（II）根據(jù)題意，因為l斜率存在，故設出直線方程．根據(jù)x_P，x_Q＞0以及由于P，Q為RS的三等分點分別得出一個等式，最后通過兩個等式分別化簡即可得出l的斜率．此時，直線方程即可得到．

解答：解：（I）由題可設A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂），M（x，y），其中x₁＞0，x₂＞0．
則

x= x1+x2 2 ，(1) y= x1-x2 2 ，(2)

∵△OAB的面積為定值2，
∴S△OAB=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

(

2

x1)(

2

x2)=x1x2=2
（1）²-（2）²，消去x₁，x₂，
得：x²-y²=2．
由于x₁＞0，x₂＞0，
∴x＞0，
所以點M的軌跡方程為x²-y²=2（x＞0）．

（II）依題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+2．
由

y=kx+2 x2-y2=2

消去y得：（1-k²）x²-4kx-6=0，
設點P、Q、R、S的橫坐標分別是x_P、x_Q、x_R、x_s，
∴由x_P，x_Q＞0得

1-k2≠0 △=16k2+24(1-k2)＞0 xP+xQ= 4k 1-k2 ＞0 xPxQ= -6 1-k2 ＞0

解之得：-

3

＜k＜-1．
∴|xP-xQ|=

(xP+xQ)2-4xPxQ

=

2 6-2k2

k2-1

．
由

y=kx+2 y=x

消去y得：xR=

2

1-k

，
由

y=kx+2 y=-x

消去y得：xS=

2

-1-k

，
∴|xR-xS|=

4

k2-1

．
由于P，Q為RS的三等分點，
∴|x_R-x_S|=3|x_P-x_Q|．
解之得k=-

5

3

．
經檢驗，此時P，Q恰為RS的三等分點，
故所求直線方程為y=-

5

3

x+2．

點評：本題考查直線方程，直線與圓的位置關系，以及軌跡方程的運算．通過已知題意分別把條件化為等式然后進行運算，本題為難題