Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)，且函數(shù)y=f（x-2）的圖象關(guān)于（2，0）成中心對(duì)稱(chēng)，若s，t滿(mǎn)足不等式f（2s-t-5）+f（1-s）≤0，已知

m

=（a，lna+b），

n

=（1，a），且

m

與

n

共線(xiàn)，則（a-s）²+（b-t）²的最小值為（　�。�

• A、8
• B、16
• C、4
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)P（x，y）是函數(shù)y=f（x-2）的圖象上的任意一點(diǎn)，其關(guān)于（2，0）的中心對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（4-x，-y），可得f（2-x）=-f（x-2）．由s，t滿(mǎn)足不等式f（2s-t-5）+f（1-s）≤0，可得f（2s-t-5）≤f（s-1）．由于函數(shù)y=f（x）在R上上是減函數(shù)，因此2s-t-5≥s-1．由于

m

=（a，lna+b），

n

=（1，a），且

m

與

n

共線(xiàn)，可得lna+b-a²=0，即b=a²-lna．（a＞0）．設(shè)直線(xiàn)s-t=m與曲線(xiàn)b=a²-lna．（a＞0）相切于點(diǎn)A（a，b）．利用導(dǎo)數(shù)的幾何由于可得切點(diǎn)為A（1，1）．利用點(diǎn)A到直線(xiàn)s-t=4的距離公式可得d，即可得出（a-s）²+（b-t）²的最小值為d²．

解答：解：設(shè)P（x，y）是函數(shù)y=f（x-2）的圖象上的任意一點(diǎn)，其關(guān)于（2，0）的中心對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（4-x，-y），
∴-f（x-2）=f（4-x-2），化為f（2-x）=-f（x-2）．
∵s，t滿(mǎn)足不等式f（2s-t-5）+f（1-s）≤0，∴f（2s-t-5）≤-f（1-s）=-f（3-s-2）=f（2-3+s）=f（s-1）．
∵函數(shù)y=f（x）在R上上是減函數(shù)，
∴2s-t-5≥s-1，化為s-t-4≥0．
∵

m

=（a，lna+b），

n

=（1，a），且

m

與

n

共線(xiàn)，
∴l(xiāng)na+b-a²=0，即b=a²-lna．（a＞0）．
對(duì)上式求導(dǎo)可得b′=2a-

1

a

，
設(shè)直線(xiàn)s-t=m與曲線(xiàn)b=a²-lna．（a＞0）相切于點(diǎn)A（a，b）．
令2a-

1

a

=1，解得a=1．∴b=1．
∴切點(diǎn)為A（1，1）．
點(diǎn)A到直線(xiàn)s-t=4的距離d=

|1-1-4|

2

=2

2

．
∴（a-s）²+（b-t）²的最小值為(2

2

)2=8．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了中心得出的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、函數(shù)的單調(diào)性、向量共線(xiàn)定理、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、兩點(diǎn)之間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．