Question

12．某體育場(chǎng)一角的看臺(tái)共有20排座位，且此看臺(tái)的座位是這樣排列的：第一排由2個(gè)座位，從第二排起每一排都比前一排多1個(gè)座位，記a_n表示第n排的座位數(shù)．
（1）確定此看臺(tái)共有多少個(gè)座位；
（2）設(shè)數(shù)列{2ⁿ•a_n}的前20項(xiàng)的和為S₂₀，求log₂S₂₀-log₂20的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得a_n=2+（n-1）=n+1，（1≤n≤20），由此看臺(tái)共有座位個(gè)數(shù)為S₂₀，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求得S₂₀．
（2）由（1）可知2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ，利用“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{2ⁿ•a_n}的前20項(xiàng)的和為S₂₀，代入根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求得log₂S₂₀-log₂20的值．

解答 解：（1）由題意可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
首項(xiàng)a₁=2，公差d=1，
∴a_n=2+（n-1）=n+1，（1≤n≤20），
∴由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可知：此看臺(tái)共有S₂₀=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）n}{2}$=$\frac{（2+20+1）20}{2}$=230；
（2）由2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ，
數(shù)列{2ⁿ•a_n}的前20項(xiàng)和S₂₀=2•2+3•2²+4•2³+…+21•2²⁰，
∴2S₂₀=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+21•2²¹，
兩式相減得：-S₂₀=2•2+2²+2³+…+2²⁰-21•2²¹，
=2+$\frac{2-{2}^{21}}{1-2}$-21•2²¹，
=-20•2²¹，
∴S₂₀=20•2²¹，
log₂S₂₀-log₂20=log₂20•2²¹-log₂20=log₂20+log₂2²¹-log₂20=21．
∴l(xiāng)og₂S₂₀-log₂20=21．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查等差前n項(xiàng)和公式，考查“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．