Question

如圖，在邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點，用向量方法：
（1）求證：D₁F⊥平面ADE；
（2）求CB₁與平面ADE所成角的正弦．

Answer 1

分析：（1）由題意，建立空間直角坐標系，利用一條直線與平面里的兩條相交直線垂直則該直線就與這一平面垂直的判定定理可以得證；
（2）由題意，利用直線與平面所成角的概念中，利用空間向量中的直線方向向量和平面的法向量之間的關系進而求解．

解答：解：建立如圖所示的直角坐標系，
（1）D（0，0，0），A（2，0，0），D₁（0，0，2），E（2，2，1），F(xiàn)（0，1，0），
則

D1F

=（0，1，-2），

D A

=（2，0，0），

AE

=（0，2，1）
則

D1F

•

DA

=0，

D1F

⊥

DA

，

D1F

•

AE

=0，

D1F

⊥

AE

D₁F⊥平面ADE；
（2）B₁（2，2，2），C（0，2，0），故

CB1

=（2，0，2），

CB1

•

D1F

=(0，0，-4)，
|

CB1

|=2

2

，得|

D1F

|=

5

，
設CB₁與D₁F所成銳角α，則cosα=

| CB1 • D1F |

| CB1 |•| D1F |

=

4

2 2 • 5

=

10

5

，
CB₁與平面ADE所成角β是α的余角，
∴sinβ=cosα=

10

5

，
CB₁與平面ADE所成角的正弦值是

10

5

．

點評：（1）此問重點考查了直線與平面垂直的判定定理用向量的表述得以求證；
（2）此問重點考查了利用空間向量的方法求解直線與平面所成的夾角．