Question

【題目】四棱錐S－ABCD中的底面是菱形，∠BAD＝60°，SD⊥底面ABCD，SD＝AB＝2，E、F分別為SB、CD的中點．

(Ⅰ)求證：EF∥平面SAD；

(Ⅱ)點P是SB上一點，若SB⊥平面APC，試確定點P的位置．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 當(dāng)SP∶PB＝3∶1時，SB⊥平面APC.

【解析】試題分析：（Ⅰ）取SA的中點M，連接EM，DM，可證四邊形EFDM是平行四邊形，即可證明EF∥平面SAD；（Ⅱ）連接BD，由ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，可得BD，再由SD⊥底面ABCD，SD＝2，可得SB＝SC，取BC中點Q，連接SQ，作CP⊥SB于點P，可證得△BSQ∽△BCP，即可得SP∶PB，然后連接AP，可證AP⊥SB，即可證此時SB⊥平面APC.

試題解析：(Ⅰ)證明：取SA的中點M，連接EM，DM

在△SAB中，EM∥AB，EM＝AB

又∵DF∥AB，DF＝AB

∴EM＝DF，EM∥DF

∴四邊形EFDM是平行四邊形

∴EF∥DM

又∵ EF平面SAD，DM平面SAD

∴ EF∥平面SAD

(Ⅱ)解：連接BD，因為ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，所以BD＝2，

因為SD⊥底面ABCD，SD＝2，所以，可得SB＝SC＝

在等腰三角形SBC中，取BC中點Q，連接SQ，作CP⊥SB于點P，

可證得△BSQ∽△BCP，所以，即，得

此時SP∶PB＝

下面證明當(dāng)SP∶PB＝3∶1時，SB⊥平面APC.

連接AP，易知△APB≌△CPB，所以∠APB＝∠CPB＝90°，即AP⊥SB，

又CP⊥SB，AP∩CP＝P，AP平面APC，CP平面APC，

所以SB⊥平面APC.

所以當(dāng)SP∶PB＝3∶1時，SB⊥平面APC.