9.將1到n的n個正整數(shù)按下面的方法排成一個排列,要求:除左邊的第一個數(shù)外,每個數(shù)都與它左邊(未必相鄰)的某個數(shù)相差1,將此種排列稱為“n排列”.比如“2排列”為n=2時,有1,2;和2,1;共2種排列.“3排列”為當(dāng)n=3時,有1,2,3;2,1,3;2,3,1;3,2,1;共4種排列.
(1)請寫出“4排列”的排列數(shù);
(2)問所有“n排列”的結(jié)尾數(shù)只能是什么數(shù)?請加以證明;
(3)證明:“n排列”共有2n-1個.

分析 (1)根據(jù)題意按順序排列即可;
(2)由題意猜想所有的n排列均以1或n結(jié)尾,根據(jù)歸納法證明即可;
(3)根據(jù)歸納法證明即可.

解答 解:(1)n=4時,有1,2,3,4;   2,1,3,4;   2,3,1,4;   2,3,4,1;  
3,2,1,4;   3,2,4,1;   3,4,2,1;   4,3,2,1共8個排列;
(2)由題意猜想所有的n排列均以1或n結(jié)尾,
證明:由(1)已證當(dāng)n=2,3,4時滿足猜想,
假設(shè)當(dāng)n=k時,所有k排列a1,a2,…an滿足題意,
則當(dāng)n=k+1時:
①若k排列a1,a2,…an最后一個數(shù)是1,則k+1排列總符合題意,
②若k排列a1,a2,…an最后1個數(shù)為k,則考慮k+1這個數(shù),
只能排在最后一位,否則在它前面沒有一個數(shù)與k+1相差1,
故n排列的結(jié)尾不是1就是n.
(3)①對n=2,3,4結(jié)論均以成立,
②假設(shè)當(dāng)n=k時,k排列共2k-1,
則n=k+1時,
若k排列結(jié)尾是k,則k+1只能排在最后一位,共2k-1個,
若k排列尾數(shù)是1,則作這樣一個對應(yīng):
a1,a2,…ak,k+1→k+2-a1,k+2-a2,••k+2-ak,1,
這樣恰好得到一個結(jié)尾為1的一個k+1排列,所以也有2k-1,
所以共有2k-1+2k-1=2k個,
即n排列共有2n-1個.

點評 本題考查了新定義問題,考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,是一道中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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3.在等差數(shù)列-5,-3$\frac{1}{2}$,-2,-$\frac{1}{2}$,…的相鄰兩項之間插入一個數(shù),使之組成一個新的等差數(shù)列,則數(shù)列的通項公式an=-5+$\frac{3}{4}$(n-1).

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4.已知函數(shù)y=f(x),若存在實數(shù)m、k(m≠0),使得對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x,均有m•f(x)=f(x+k)+f(x-k)成立,則稱函數(shù)f(x)的“可平衡”函數(shù),有序數(shù)對(m,k)稱為函數(shù)f(x)的“平衡“數(shù)對.
(1)若m=1,判斷f(x)=sinx是否為“可平衡“函數(shù),并說明理由;
(2)若a∈R,a≠0,當(dāng)a變化時,求證f(x)=x2與g(x)=a+2x的平衡“數(shù)對”相同.
(3)若m1、m2∈R,且(m1,$\frac{π}{2}$)(m2,$\frac{π}{4}$)均為函數(shù),f(x)=cos2x(0$<x≤\frac{π}{4}$)的“平衡”數(shù)對,求m12+m22的取值范圍.

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17.已知矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&\\{c}&{2}\end{array}]$有特征值λ1=4及對應(yīng)的一個特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{2}\\{3}\end{array}]$,則直線2x-y+3=0在矩陣M對應(yīng)的變換作用下的直線方程是7x-5y-12=0.

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4.一袋中裝有分別標(biāo)記著1,2,3數(shù)字的3個小球,每次從袋中取出一個球(每只小球被取到的可能性相同),現(xiàn)連續(xù)取2次球,若每次取出一個球后放回袋中,記2次取出的球中標(biāo)號最小的數(shù)字與最大的數(shù)字分別為X,Y,設(shè)ξ=Y-X,則Eξ=( 。
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14.如圖,∠C=$\frac{π}{2}$,AC=BC,M,N分別是BC、AB的中點,沿直線MN將△BMN折起使點B到達B′,且∠B′MB=$\frac{π}{3}$,則B′A與平面ABC所成角的正切值為(  )
A.$\frac{\sqrt{2}}{5}$B.$\frac{\sqrt{3}}{5}$C.$\frac{4}{5}$D.$\frac{3}{5}$

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1.若函數(shù)f(x)=2sin($\frac{π}{3}+\frac{π}{6}$)(-$\frac{1}{2}<x<\frac{11}{2}$)的圖象與x軸交于點A,過A的直線l與函數(shù)f(x)的圖象交于B,C兩點,則($\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$)$•\overrightarrow{OA}$=( 。
A.25B.-$\frac{25}{2}$C.$\frac{25}{2}$D.-25

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18.盒中共有9個球,其中有3個紅球、4個黃球和2個白球,這些球除顏色外完全相同.
(Ⅰ)從盒中一次隨機取出2個球,求取出的2個球顏色相同的概率P;
(Ⅱ)從盒中一次隨機取出4個球,設(shè)X為取出的4個球中紅色的個數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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19.如圖,四棱錐A-BCDE中,F(xiàn)為AD的中點,DC⊥平面ABC,CD∥BE,AB=AC=BC=CD=2BE.
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(2)求平面ADE與平面ABD所成銳二面角的余弦值.

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