Question

已知

a

=（sinωx，

3

sinωx），

b

=（sinωx，cosωx），ω＞0，f（x）=

a

•

b

，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）求f（x）在區(qū)間[0，

2π

3

]上的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式的逆用，以及正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，即可得到；
（2）由0≤x≤

2π

3

，得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，運(yùn)用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=sin²ωx+

3

sinωxcosωx=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx
=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，∵T=π，T=

2π

2ω

，∴ω=1，f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

．
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，
則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z．
（2）∵0≤x≤

2π

3

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1
∴0≤sin（2x-

π

6

）+

1

2

≤

3

2

．
∴f（x）在區(qū)間[0，

2π

3

]上的取值范圍[0，

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查二倍角公式的運(yùn)用，兩角差的余弦，考查正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．