Question

已知函數(shù)f（x）=

1-5x

1+5x

．
（1）寫出f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）已知f（x）在定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求出f（x）的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，將不等式進行轉(zhuǎn)化即可．

解答： 解：（1）∵5^x＞0，5^x+1＞0恒成立
∴x∈R
即f（x）的定義域為{x|x∈R}．
（2）∵由（1）得f（x）的定義域為{x|x∈R}關(guān)于原點對稱，
∴f（-x）=

5-x-1

5-x+1

=

1-5x

1+5x

=-

5x-1

5x+1

=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)．…（7分）
（3）∵對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
又∵f（x）是奇函數(shù)∴f（t²-2t）＜f（k-2t²）
又∵f（x）在定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)∴t²-2t＞k-2t²，
即3t²-2t-k＞0對任意t∈R恒成立，∴△=4+12k＜0得k＜-

1

3

即為所求．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷以及函數(shù)單調(diào)性的應用，綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)．