Question

已知函數(shù)f（x）=lg（2+x），g（x）=lg（2-x），設(shè)h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)h（x）的定義域
（Ⅱ）求h（-1）-h（1）的值，并判斷函數(shù)h（x）的奇偶性，（請說明理由）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)成立的條件，即可求函數(shù)h（x）的定義域
（Ⅱ）計(jì)算h（-1）-h（1）的值，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可并判斷函數(shù)h（x）的奇偶性．

解答： 解：（Ⅰ）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）=lg（2+x）+lg（2-x），
∴要使函數(shù)有意義，則

2+x＞0 2-x＞0

，
即

x＞-2 x＜2

，
∴-2＜x＜2，
即函數(shù)h（x）的定義域（-2，2）．
（Ⅱ）∵h(yuǎn)（x）=lg（2+x）+lg（2-x），
∴h（-1）-h（1）=lg1+lg3-lg3-lg1=0．
函數(shù)h（x）是偶函數(shù)．
∵定義域?yàn)椋?2，2），關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且h（-x）=lg（2-x）+lg（2+x）=h（x），
即函數(shù)h（x）是偶函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)定義域和函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．