Question

2．若函數(shù)f（x）=lnx+ax²-（a+2）x在$x=\frac{1}{2}$處取得極大值，則正數(shù)a的取值范圍是（0，2）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)，結(jié)合已知條件，判斷即可．

解答 解：f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-（a+2）=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$，
①a≤0時(shí)，ax-1＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
故$\frac{1}{2}$是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不合題意，
②0＜a＜2時(shí)，$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{1}{2}$或x＞$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，
∴函數(shù)f（x）在$x=\frac{1}{2}$處取得極大值，符合題意，
③a=2時(shí)，f′（x）≥0，f（x）遞增，無極值，
④a＞2時(shí)，$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$或x＜$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
∴函數(shù)f（x）在x=$\frac{1}{a}$處取得極大值，不符合題意，
綜上，a∈（0，2），
故答案為：（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．