Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

1

2

PD．
（1）證明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角D-PQ-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，以AD、DP、DC所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量可證得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，再根據線面垂直的判斷定理可證得PQ⊥平面DCQ，最后根據面面垂直的判斷定理證得結論；
（2）先證∠CQD為二面角D-PQ-C的平面角，然后在Rt△CQD中求出此角的余弦值，即可得到二面角D-PQ-C的余弦值．

解答：（1）證明：如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，以AD、DP、DC所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，
依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），則

DQ

=（1，1，0），

DC

=（0，0，1），

PQ

=（1，-1，0），
∴

PQ

•

DQ

=0，

PQ

•

DC

=0，
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
又DQ∩DC=D，∴PQ⊥平面DCQ．
又PQ?平面PQC，
∴平面PQC⊥平面DCQ．
（2）由（1）知PQ⊥DQ，PQ⊥平面DCQ，
∵DC?平面DCQ，
∴PQ⊥DC，而PQ⊥DQ，
則∠CQD為二面角D-PQ-C的平面角，DQ=

2

，CQ=

3

在Rt△CQD中cos∠CQD=

DQ

CQ

=

2

3

=

6

3

，
∴二面角D-PQ-C的余弦值為

6

3

．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，以及二面角的求解，同時考查了推理論證的能力，屬于中檔題．