Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}{x^2}$，g（x）=$\frac{1-m}{2}{x^2}$+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的不等式F（x）≤mx-1恒成立，求整數(shù)m的最小值；
（3）若m=-1，且正實(shí)數(shù)x₁，x₂滿足F（x₁）=-F（x₂），求x₁+x₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，導(dǎo)函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)大于0求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）化簡F（x）=f（x）+g（x），構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)通過m 的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值．推出m的最小值即可．
（3）m=-1時，F(xiàn)（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²+x，x＞0，由F（x₁）=-F（x₂），推出lnx₁+$\frac{1}{2}$${{x}_{1}}^{2}$+x₁+lnx₂+$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+x₂=0，令t=x₁•x₂＞0，由φ（t）=t-lnt，求出φ′（t）=$\frac{t-1}{t}$，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，然后推出x₁+x₂≥$\sqrt{3}$-1成立．．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋簕x|x＞0}，f′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$，（x＞0），
由f′（x）＞0，得：0＜x＜1，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）．…（4分）
（2）F（x）=f（x）+g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$mx²+x，x＞0，
令G（x）=F（x）-（mx-1）=lnx-$\frac{1}{2}$mx²+（1-m）x+1，
則不等式F（x）≤mx-1恒成立，即G（x）≤0恒成立．
G′（x）=$\frac{1}{x}$-mx+（1-m）=$\frac{-m{x}^{2}-（1-m）x+1}{x}$，
①當(dāng)m≤0時，因?yàn)閤＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
又因?yàn)镚（1）=ln1-$\frac{1}{2}$m×1²+（1-m）+1=-$\frac{3}{2}$m+2＞0，所以關(guān)于x的不等式G（x）≤0不能恒成立，
②當(dāng)m＞0時，G′（x）=-$\frac{m（x-\frac{1}{m}）（x-1）}{x}$，令G′（x）=0，因?yàn)閤＞0，得x=$\frac{1}{m}$，
所以當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{m}$）時，G′（x）＞0；當(dāng)x∈（$\frac{1}{m}$，+∞）時，G′（x）＜0，
因此函數(shù)G（x）在x∈（0，$\frac{1}{m}$）是增函數(shù)，在x∈（$\frac{1}{m}$，+∞）是減函數(shù)，
故函數(shù)G（x）的最大值為：G（$\frac{1}{m}$）=ln$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{2}$m×$（\frac{1}{m}）^{2}$+（1-m）×$\frac{1}{m}$+1=$\frac{1}{2m}$-lnm，
令h（m）=$\frac{1}{2m}$-lnm，因?yàn)閔（m）在m∈（0，+∞）上是減函數(shù)，
又因?yàn)閔（1）=$\frac{1}{2}$＞0，h（2）=$\frac{1}{4}$-ln2＜0，所以當(dāng)m≥2時，h（m）＜0，
所以整數(shù)m的最小值為2．    …（10分）
（3）m=-1時，F(xiàn)（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²+x，x＞0，
由F（x₁）=-F（x₂），得F（x₁）+F（x₂）=0，即lnx₁+$\frac{1}{2}$${{x}_{1}}^{2}$+x₁+lnx₂+$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$+x₂=0，
整理得：$\frac{1}{2}$$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$+（x₁+x₂）=x₁ x₂-ln（x₁ x₂），
令t=x₁•x₂＞0，則由φ（t）=t-lnt，得：φ′（t）=$\frac{t-1}{t}$，
可知φ（t）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上
單調(diào)遞增，所以φ（t）≥φ（1）=1，
所以：$\frac{1}{2}$$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$+（x₁+x₂）≥1，解得：x₁+x₂≤-$\sqrt{3}$-1，或x₁+x₂≥$\sqrt{3}$-1，
因?yàn)閤₁，x₂為正整數(shù)，所以：x₁+x₂≥$\sqrt{3}$-1成立．  …（15分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及極值以及函數(shù)的最值，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．