Question

某羊皮手套生產(chǎn)廠計(jì)劃投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對(duì)生產(chǎn)的手套進(jìn)行促銷．在一年內(nèi)，據(jù)測(cè)算銷售量S（萬雙）與廣告費(fèi)x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系是．已知羊皮手套的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬雙羊皮手套仍需再投入25萬元．（年銷售收入=年生產(chǎn)成本的120%+年廣告費(fèi)的50%）．
（I）將羊皮手套的年利潤L（萬元）表示為年廣告費(fèi)x（萬元）的函數(shù)；
（II）當(dāng)年廣告費(fèi)投入為多少萬元時(shí)，此廠的年利潤最大，最大利潤為多少？（年利潤=年銷售收入-年生產(chǎn)成本-年廣告費(fèi)）．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，）

Answer 1

【答案】分析：（I）手套的年成本為（25S+6）萬元，年銷售收入為（25S+6）×120%+x•50%，年利潤為L=（25S+6）×120%+x•50%-（25S+6）-x，整理即得；
（II）由利潤函數(shù)L的解析式，利用基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0），可得L的最大值．
解答：解：（I）由題意知，羊皮手套的年成本為（25S+6）萬元，
年銷售收入為（25S+6）×120%+x•50%，
年利潤為L=（25S+6）×120%+x•50%-（25S+6）-x，
即．
又，所以．
（II）由（I）知，=．．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，L有最大值21.73．
因此，當(dāng)年廣告費(fèi)投入約為4.47萬元時(shí)，此廠的年利潤最大，最大年利潤約為21.73萬元．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利潤函數(shù)模型的應(yīng)用，在建立函數(shù)解析式的基礎(chǔ)上，利用基本不等式，求得函數(shù)的最值．