Question

已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形．AA₁=2，∠A₁AB=∠A₁AD=120°．
（1）求線段AC₁的長(zhǎng)；
（2）求異面直線AC₁與A₁D所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間角

分析：（1）設(shè)

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，由于

AC1

=

a

+

b

+

c

，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)

AC1

2=(

a

+

b

+

c

)2=

a

2+

b

2+

c

2+2

a

•

b

+2

a

•

c

+2

b

•

c

即可得出．
（2）利用向量夾角公式cos＜

A1D

，

AC1

＞=

A1D • AC1

| A1D || AC1 |

即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，
則|

a

|=|

b

|=1，|

c

|=2，

a

•

b

=0，

a

•

c

=

b

•

c

=2×1×cos120°=-1．
∵

AC1

=

a

+

b

+

c

，
∴

AC1

2=(

a

+

b

+

c

)2=

a

2+

b

2+

c

2+2

a

•

b

+2

a

•

c

+2

b

•

c

=1+1+4+0-2-2=2，
∴|

AC1

|=

2

．
（2）

A1D

=

b

-

c

，
∴|

A1D

|=

b 2+ c 2-2 b • c

=

1+22-2×(-1)

=

7

．

A1D

•

AC1

=(

b

-

c

)•(

a

+

b

+

c

)=

a

•

b

+

b

2-

a

•

c

-

c

2=0+1-（-1）-2²=-2．
∴cos＜

A1D

，

AC1

＞=

A1D • AC1

| A1D || AC1 |

=

-2

7 × 2

=-

14

7

．
∴異面直線AC₁與A₁D所成角的余弦值為

14

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的平行六面體法則、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式，考查了空間想象能力，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．