Question

已知△ABC是半徑為R的圓內(nèi)接三角形，且2R（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB
（1）求角C；
（2）試求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正弦定理，已知等式中的角轉(zhuǎn)換成邊，可得a、b、c的平方關(guān)系，再利用余弦定理求得cosC的值，可得角C的大小；
（2）根據(jù)正弦定理算出c=R，再由余弦定理c²=a²+b²-2a•bcosC的式子，結(jié)合基本不等式找到邊ab的范圍，利用正弦定理的面積公式加以計(jì)算，即可求出△ABC面積的最大值．
解答：解：（1）∵2R（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，
∴根據(jù)正弦定理，得a²-c²=（a-b）b=ab-b²，
可得a²+b²-c²=ab
∴cosC===，
∵角C為三角形的內(nèi)角，∴角C的大小為
（2）由（1）得c=2Rsin=R
由余弦定理c²=a²+b²-2a•bcosC，可得
2R²=a²+b²-a•b≥2ab-ab=（2-）ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立
∴ab≤=（）R²
∴S_△ABC=absinC≤•（）R²•=R²
即△ABC面積的最大值為R²
點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的外接圓半徑為R，在已知角的關(guān)系式情況下，求三角形面積最大值．著重考查了三角形的外接圓、正余弦定理和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．