【題目】已知橢圓:的左右頂點分別為,,點是橢圓上異于、的任意一點,設直線,的斜率分別為、,且,橢圓的焦距長為4.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過右焦點的直線交橢圓于、兩點,分別記,的面積為、,求的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)設出點的坐標,代入橢圓方程,根據,可得方程組,求得的等量關系,結合焦距長即可求得,得橢圓方程.
(2)討論直線斜率存在與不存在兩種情況.當斜率不存在時,易求得,即可求得;當斜率存在時,用點斜式表示出直線方程,聯立橢圓,整理成關于的一元二次方程,利用韋達定理表示出.結合直線方程,即可表示出.將等式變形,結合基本不等式即可求得最大值.
(1)橢圓:,點是橢圓上異于、的任意一點
設點,則,①
∵,②
∴聯立①②得,
∴,
又∵,∴,
∴,即,
∴,∴,
∴橢圓的標準方程為.
(2)由題意知,
①當直線的斜率不存在時,,于是,
②當直線的斜率存在時,設直線:,
聯立,得.
設,,根據韋達定理,得,,
于是
,
當且僅當時等號成立,
綜上,的最大值為.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,底面,,為線段的中點.
(1)若為線段上的動點,證明:平面平面;
(2)若為線段,,上的動點(不含,),,三棱錐的體積是否存在最大值?如果存在,求出最大值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】從拋物線上任意一點P向x軸作垂線段,垂足為Q,點M是線段上的一點,且滿足
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)設直線與軌跡c交于兩點,T為C上異于的任意一點,直線,分別與直線交于兩點,以為直徑的圓是否過x軸上的定點?若過定點,求出符合條件的定點坐標;若不過定點,請說明理由.
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【題目】下列命題中正確的是( )
①已知隨機變量服從正態(tài)分布,且,則;
②相關系數r用來衡量兩個變量之間線性關系的強弱,越大,相關性越弱;
③相關指數用來刻畫回歸的效果,越小,說明模型的擬合效果越好;
④在殘差圖中,殘差點分布的帶狀區(qū)域越狹窄,其模型擬合的精度就越高.
A.①②B.①④C.②③D.③④
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【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的極坐標方程及曲線的直角坐標方程;
(2)若是直線上一點,是曲線上一點,求的最大值.
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【題目】如圖,在三棱錐中,頂點在底面上的投影在棱上,,,,為的中點.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)已知點為的中點,在棱上是否存在點,使得平面,若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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【題目】數學老師給出一個函數,甲、乙、丙、丁四個同學各說出了這個函數的一條性質:甲:在 上函數單調遞減;乙:在上函數單調遞增;丙:在定義域R上函數的圖象關于直線對稱;。不是函數的最小值.老師說:你們四個同學中恰好有三個人說的正確.那么,你認為____說的是錯誤的.
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