Question

17．已知冪函數(shù)y=x^3m-9（m∈N^*）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0，+∞）上函數(shù)值隨x增大而減�。�
（1）求m的值； 
（2）求滿足（a+1）${\;}^{-\frac{m}{3}}}$＜（3-2a）${\;}^{-\frac{m}{3}}}$的a的范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：3m-9＜0，且為偶數(shù)，m∈N^*．
（2）由偶函數(shù)與單調(diào)性可得：|a+1|＞|3-2a|＞0，解出即可得出．

解答 解：（1）由冪函數(shù)y=x^3m-9（m∈N^*）的圖象關(guān)于y軸對稱，
且在（0，+∞）上函數(shù)值隨x增大而減�。�
∴3m-9＜0，且為偶數(shù)，m∈N^*．
解得m=1．
（2）（a+1）${\;}^{-\frac{m}{3}}}$＜（3-2a）${\;}^{-\frac{m}{3}}}$即：$（a+1）^{-\frac{1}{3}}$＜$（3-2a）^{-\frac{1}{3}}$，
由偶函數(shù)與單調(diào)性可得：|a+1|＞|3-2a|＞0，
∴a+1＞3-2a＞0或0＞a+1＞3-2a
∴a的取值范圍是$\frac{2}{3}$＜a＜$\frac{3}{2}$或a＜-1．

點評 本題考查了冪函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．