Question

14．如圖所示，ABCD是長(zhǎng)為8，寬為4的矩形，設(shè)點(diǎn)H在直線AD上運(yùn)動(dòng)，BH的垂直平分線為m，過(guò)點(diǎn)H且與BD平行（或重合）的直線與直線m相交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡為（　　）

• A． 圓的一部分
• B． 橢圓的一部分
• C． 雙曲線的一部分
• D． 拋物線的一部分

Answer 1

分析 以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)H（8+a，4），直線BH的方程為y=$\frac{4}{8+a}x$，m的方程為y-2=-$\frac{8+a}{4}$（x-$\frac{8+a}{2}$），HE的方程為y=$\frac{1}{2}$（x-a），由此能求出M的軌跡為雙曲線的一部分．

解答 解：以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)H（8+a，4），直線BH的方程為y=$\frac{4}{8+a}x$，
∴BH的垂直平分線m的方程為y-2=-$\frac{8+a}{4}$（x-$\frac{8+a}{2}$），①，
∵過(guò)H平行于BD的直線HE的方程為y=$\frac{1}{2}$（x-a），
解得a=x-2y，②，
將②代入①，整理，得：$\frac{（y-20）^{2}}{380}-\frac{{x}^{2}}{1520}=1$，（x＞0，y＞0），
∴M的軌跡為雙曲線的一部分．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．