Question

（1）已知函數(shù)f(x)=sin(

1

2

x+

π

4

)，求函數(shù)在區(qū)間[-2π，2π]上的單調(diào)增區(qū)間；
（2）計(jì)算：tan70°cos10°(

3

tan20°-1)．

Answer 1

分析：（1）把“

1

2

x+

π

4

”看成一個(gè)整體，利用正弦函數(shù)的增區(qū)間求出此函數(shù)的增區(qū)間，利用k的取值求出；
（2）利用“切化弦”的基本思路，再結(jié)合三角恒等變換的公式將式子進(jìn)行化簡求值．

解答：解：（1）由-

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）得-

3π

2

+4kπ≤x≤

π

2

+4kπ（k∈Z），
當(dāng)k=0時(shí)，得-

3π

2

≤x≤

π

2

，[-

3π

2

，

π

2

]?[-2π，2π]，且僅當(dāng)k=0時(shí)符合題意，
∴函數(shù)f(x)=sin(

1

2

x+

π

4

)在區(qū)間[-2π，2π]上的單調(diào)增區(qū)間是[-

3π

2

，

π

2

]．
（2）tan70°cos10°(

3

tan20°-1)=

sin70°

cos70°

•cos10°•

3 sin20°-cos20°

cos20°

=

sin70°

cos70°

•cos10°•

-2sin10°

cos20°

=-

sin70°

cos70°

•

sin20°

cos20°

=-

cos20°

sin20°

•

sin20°

cos20°

=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角恒等變換的公式和正弦函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)的應(yīng)用，主要利用對(duì)應(yīng)的公式對(duì)解析式化簡后，利用“整體思想”求函數(shù)的增區(qū)間，利用“切化弦”的基本思想進(jìn)行化簡求值，要求熟練掌握公式并能靈活運(yùn)用．