Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=lnx-ax²，x＞0．（f（x）的圖象連續(xù)不斷）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：存在x₀∈（2，+∞），使；
（Ⅲ）若存在均屬于區(qū)間[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），證明．

Answer 1

解：（I），
令．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是．
（II）證明：當(dāng)．
由（I）知f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，
在（2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
令．
由于f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，
故．
取．
所以存在x₀∈（2，x'），使g（x₀）=0，
即存在．
（說明：x'的取法不唯一，只要滿足x'＞2，且g（x'）＜0即可）
（III）證明：由f（α）=f（β）及（I）的結(jié)論知，
從而f（x）在[α，β]上的最小值為f（a）．
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．
故
從而．
分析：（I）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；在函數(shù) 的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．
（II）由（I）知f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，在（2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．令．利用函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，得到．最后取．從而得到結(jié)論；
（III）先由f（α）=f（β）及（I）的結(jié)論知，從而f（x）在[α，β]上的最小值為f（a）．再依1≤α≤2≤β≤3建立關(guān)于a的不等關(guān)系即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力和運(yùn)用函數(shù)思想分析解決問題的能力及分類討論的思想方法．