Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，且.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）已知直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與（1）中的軌跡交于兩點(diǎn)，在第三象限，且軸，垂足為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由、推出，可知的軌跡是以，為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸的橢圓，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立求出M、N、H的坐標(biāo)及直線HN的方程，直線HN的方程與橢圓方程聯(lián)立求出Q點(diǎn)坐標(biāo)從而求出面積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)研究面積的最大值.

（1）設(shè)，，

則，.

因?yàn)?/span>，所以，

由橢圓的定義可知的軌跡是以，為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸的橢圓.

故的方程為.

（2）由題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為（），

與橢圓聯(lián)立可得，

所以，，.

點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，

代入，可得，

所以.

因?yàn)?/span>，所以，

的坐標(biāo)為，

于是，所以，即.

因?yàn)?/span>，.

所以.

令，，

由，可得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為，即的最大值為.