Question

已知定點C（-1，0）及橢圓x²+3y²=5，過點C的動直線與橢圓相交于A，B兩點，
（1）若線段AB中點的橫坐標是，求直線AB的方程；
（2）在x軸上是否存在點M，使為常數(shù)？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），
將y=k（x+1）代入，
消去y整理得， 
設(shè)，
則
由線段AB中點的橫坐標是，得，
解得，適合①，
所以直線AB的方程為或；
（2）假設(shè)在x軸上存在點M（m，0），使為常數(shù)，
（ⅰ）當直線AB與x軸不垂直時，由（1）知，， ③
所以
，
將③代入，整理得

，
注意到是與k無關(guān)的常數(shù)，從而有，
此時；
（ⅱ）當直線AB與x軸垂直時，此時點A、B的坐標分別為，
當時，亦有；
綜上，在x軸上存在定點，使為常數(shù)。