Question

若△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，且1-2sinBsinC=cos2B+cos2C-cos2A．
（1）求A的大小；
（2）求sinB+sinC的最值．

Answer 1

分析：（1）把已知的等式右邊利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用正弦定理化為關(guān)于a，b及c的關(guān)系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把得到的關(guān)系式代入即可求出cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）求出的A的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理，由B表示出C，把所求的式子利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，提取

3

，再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)B的范圍求出B+30°的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可得到所求式子的最大值，無最小值．

解答：解：（1）∵1-2sinBsinC=cos2B+cos2C-cos2A，
∴1-2sinBsinC=1-2sin²B+1-2sin²C-1+2sin²A，
由正弦定理可得：-2bc=-2b²-2c²+2a²，
整理得：b²+c²-a²=bc，（3分）
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴A=60°；（6分）
（2）sinB+sinC=sinB+sin（120°-B）=sinB+

3

2

cosB+

1

2

sinB
=

3

2

cosB+

3

2

sinB=

3

（

1

2

cosB+

3

2

sinB）
=

3

sin（B+30°），（8分）
∵0°＜B＜120°，
∴30°＜B+30°＜150°，

1

2

＜sin（B+30°）≤1，
∴

3

2

＜

3

sin（B+30°）≤

3

，
∴sinB+sinC無最小值，最大值為

3

．（12分）

點評：此題考查學生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，掌握正弦函數(shù)的值域，是一道中檔題．