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7.已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)+loga(3-x)(a>0且a≠1),且f(1)=2
(1)求a的值及f(x)的定義域;
(2)若不等式f(x)≤c的恒成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

分析 (1)由f(1)=loga2+loga2=2,解得a=2.可得f(x)=log2(x+1)+log2(3-x),由{x+103x0,可得函數(shù)f(x)的定義域.
(2)由(1)可知:f(x)=log2(x+1)+log2(3-x)=log2(x+1)(3-x)=log2[x12+4],利用二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

解答 解:(1)∵f(1)=loga2+loga2=2,解得a=2.
∴f(x)=log2(x+1)+log2(3-x),
{x+103x0,解得-1<x<3,
可得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋海?1,3).
(2)由(1)可知:f(x)=log2(x+1)+log2(3-x)=log2(x+1)(3-x)=log2x2+2x+3=log2[x12+4],
可知:當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,f(1)=log24=2.
由不等式f(x)≤c的恒成立,∴c≥2.
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍是[2,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.\frac{π}{6}B.\frac{π}{4}C.\frac{π}{3}D.\frac{5π}{12}

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(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng);
(2)令cn=\frac{_{n}}{{a}_{n}},
①求{cn}的前n項(xiàng)和Tn;
②是否存在正整數(shù)m滿足m>3,c2,c3,cm成等差數(shù)列?若存在,請(qǐng)求出m;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(2)若C(a,b),且\overrightarrow{CD}=(3,1),求\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}取得最小值時(shí)a,b的值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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