Question

已知向量

a

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），

b

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），f（x）=

a

•

b

+t|

a

+

b

|，x∈[0，

π

2

]．
（Ⅰ）若f（

π

3

）=-

9

2

，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）+2=0有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）分別表示出

a

•

b

和|a+b|，進而利用二倍角公式對函數(shù)解析式化簡，根據(jù)f（

π

3

）=-

9

2

求得t，則函數(shù)解析式可得，進而根據(jù)x的范圍確定f（x）的范圍．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中f（x）的解析式，寫出方程，利用換元法轉(zhuǎn)化成一元二次方程的問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定t的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）

a

•

b

=cos

x

2

cos

3

2

x-sin

x

2

sin

3

2

x=cos2x，
|

a

+

b

|²=1+2cos2x+1=2（1+cos2x）=4cos²x，
|a+b|=2cosx，x∈[0，

π

2

]．
∴f（x）=cos2x+2tcosx，
∵f（

π

3

）=-

9

2

，∴-

1

2

+2t•

1

2

=-

9

2

，
∴t=-4，
∴f（x）=cos2x-8cosx=2cos²x-8cosx-1=2（cosx-2）²-9，x∈[0，

π

2

]．
∴cosx∈[0，1]，f（x）∈[-7，-1]．
（Ⅱ）由f（x）+2=0，得2cos²x+2tcosx+1=0，
令u=cosx，∵x∈[0，

π

2

]．
∴u∈[0，1]，
∵關(guān)于x的方程f（x）+2=0有兩個不同的實數(shù)解，
∴2u²+2tu+1=0，u∈[0，1]有兩個不同實數(shù)解，
∴

△=4t2-8＞0 0＜- 2t 4 ＜1 F(0)=1≥0 F(1)=2+2t+1≥0

，解得-

3

2

≤t＜-

2

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．注意換元法和數(shù)形結(jié)合思想的運用．