【題目】已知數(shù)列{an}滿足: ,anan+1<0(n≥1),數(shù)列{bn}滿足:bn=an+12﹣an2(n≥1).
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式
(2)證明:數(shù)列{bn}中的任意三項不可能成等差數(shù)列.
【答案】
(1)解:由題意可知,
令cn=1﹣an2,則
又 ,則數(shù)列{cn}是首項為 ,公比為 的等比數(shù)列,即 ,
故 ,
又 ,anan+1<0
故
因為 = ,
故
(2)證明:假設(shè)數(shù)列{bn}存在三項br,bs,bt(r<s<t)按某種順序成等差數(shù)列,
由于數(shù)列{bn}是首項為 ,公比為 的等比數(shù)列,
于是有2bs=br+bt成立,則只有可能有2br=bs+bt成立,
∴
化簡整理后可得,2=( )r﹣s+( )t﹣s,
由于r<s<t,且為整數(shù),故上式不可能成立,導(dǎo)致矛盾.
故數(shù)列{bn}中任意三項不可能成等差數(shù)列.
【解析】(1)對 化簡整理得 ,令cn=1﹣an2 , 進而可推斷數(shù)列{cn}是首項為 ,公比為 的等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得cn , 則a2n可得,進而根據(jù)anan+1<0求得an . (2)假設(shè)數(shù)列{bn}存在三項br , bs , bt(r<s<t)按某種順序成等差數(shù)列,由于數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,于是有br>bs>bt , 則只有可能有2bs=br+bt成立,代入通項公式,化簡整理后發(fā)現(xiàn)等式左邊為2,右邊為分?jǐn)?shù),故上式不可能成立,導(dǎo)致矛盾.
【考點精析】通過靈活運用數(shù)列的定義和表示和等差數(shù)列的性質(zhì),掌握數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項.記作an,在數(shù)列第一個位置的項叫第1項(或首項),在第二個位置的叫第2項,……,序號為n的項叫第n項(也叫通項)記作an;在等差數(shù)列{an}中,從第2項起,每一項是它相鄰二項的等差中項;相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域為,若在上為增函數(shù),則稱為“一階比增函數(shù)”.
(1)若是“一階比增函數(shù)”,求實數(shù)a的取值范圍。
(2)若是“一階比增函數(shù)”,求證:對任意,,總有;
(3)若是“一階比增函數(shù)”,且有零點,求證:關(guān)于x的不等式有解.
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【題目】已知橢圓: 的上下兩個焦點分別為, ,過點與軸垂直的直線交橢圓于、兩點, 的面積為,橢圓的離心力為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知為坐標(biāo)原點,直線: 與軸交于點,與橢圓交于, 兩個不同的點,若存在實數(shù),使得,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)求證:當(dāng)時, ;
(Ⅲ)若對任意恒成立,求實數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓上的點到它的兩個焦的距離之和為,以橢圓的短軸為直徑的圓經(jīng)過這兩個焦點,點, 分別是橢圓的左、右頂點.
()求圓和橢圓的方程.
()已知, 分別是橢圓和圓上的動點(, 位于軸兩側(cè)),且直線與軸平行,直線, 分別與軸交于點, .求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有4人去旅游,旅游地點有A,B兩個地方可以選擇,但4人都不知道去哪里玩,于是決定通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪里玩,擲出能被3整除的數(shù)時去A地,擲出其他的則去B地.
(1)求這4個人恰好有1個人去A地的概率;
(2)用X,Y分別表示這4個人中去A,B兩地的人數(shù),記ξ=XY,求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ).
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【題目】如圖,已知所在的平面, 是的直徑, 是上一點,且是中點, 為中點.
(1)求證: 面;
(2)求證: 面;
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓()的離心率是,點在短軸上,且。
(1)球橢圓的方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點,過點的動直線與橢圓交于兩點。是否存在常數(shù),使得為定值?若存在,求的值;若不存在,請說明理由。
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