分析 (1)推導(dǎo)出BE⊥OA1,BE⊥OC,從而BE⊥平面A1OC,由CD∥BE,能證明CD⊥平面A1OC.
(2)以O(shè)為原點(diǎn),OB為x軸,OC為y軸,OA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角B-A1C-D的余弦值.
解答 證明:(1)在圖1中,
∵AB=BC=$\sqrt{2}$,AD=2$\sqrt{2}$,E是AD的中點(diǎn),∠BAD=$\frac{π}{2}$,
∴BE⊥AC,
∴在圖2中,BE⊥OA1,BE⊥OC,
∴BE⊥平面A1OC,
又CD∥BE,
∴CD⊥平面A1OC.
解:(2)∵平面A1BE⊥平面BCDE,
∴AO⊥平面BCDE,
以O(shè)為原點(diǎn),OB為x軸,OC為y軸,OA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
B(1,0,0),A1(0,0,1),E(-1,0,0),C(0,1,0),D(-2,1,0),
$\overrightarrow{BC}$=(-1,1,0),$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=(0,1,-1),$\overrightarrow{DC}$=(2,0,0),
設(shè)平面A1BC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{{AC}_{1}}=0\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}-x+y=0\\ y-z=0\end{array}\right.$,
取x=1,得 $\overrightarrow{n}$=(1,1,1),
同理可求得平面A1CD的法向量$\overrightarrow{m}$=(0,1,1),
設(shè)平面A1BC與平面A1CD夾角為θ,
則cosθ=$\frac{2}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
∴平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | [1,3] | B. | [-1,3] | C. | [1,+∞)∪(-∞,-3] | D. | [3,+∞)∪(-∞,-1] |
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A. | l與C相離 | B. | l與C相切 | ||
C. | l與C相交 | D. | 以上三個選項均有可能 |
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