Question

6．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0．b＞0）和圓O：x²+y²=b²，過雙曲線C上一點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B，若△PAB可為正三角形，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$]
• B． （1，$\sqrt{3}$]
• C． [$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）
• D． [$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 由于△PAB可為正三角形，可得∠OPA=30°，OP=2b≥a，再利用離心率計算公式即可得出．

解答 解：∵△PAB可為正三角形，
∴∠OPA=30°，
∴OP=2b，
則2b≥a，
∴$\frac{a}$≥$\frac{1}{2}$，
∴雙曲線C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$
≥$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴雙曲線C的離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查了雙曲線與圓的標準方程及其性質(zhì)、直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．