已知函數(shù)f（x）在（-1，1）上有定義，當0＜x＜1時，f（x）＜0，且對任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（數(shù)學(xué)公式），試證明：
（1）f（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減．

解：（1）由題意，令x=y=0代入已知式子可得：
f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，
令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數(shù)；
（2）任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
故f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（）
∵x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
∴0＜x2-x1＜2，0＜1-x2x1＜2，
∴0＜＜1，故f（）＜0，即f（x2）＜f（x1），
所以f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減．
分析：（1）令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x，可得f（-x）=-f（x），故得證；（2）由單調(diào)性的定義，任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，由性質(zhì)可得可得
f（x2）-f（x1）=f（），由已知可判f（）＜0，進而得證．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷與證明，給x，y賦值是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

6、已知函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)，A（0，-2），B（-3，2）是其圖象上的兩點，那么不等式-2＜f（x）＜2的解集是
{x|-3＜x＜0}
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

11、已知函數(shù)f（x）在R上滿足f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是
y=2x-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）在R上滿足y=f（x）=2f（2-x）+ex-1+x2，則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是（　　）
A、2x-y-1=0B、x-y-3=0C、3x-y-2=0D、2x+y-3=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，且滿足f（4）＜f（2x），則x的取值范圍是
（2，+∞）
（2，+∞）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x2
2
-(1+2a)x+
4a+1
2
ln(2x+1)，a＞0．
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）在x=2取得極小值，求a的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當a＞
1
4
時，若存在x0∈（
1
2
，+∞），使得f（x0）＜
1
2
-2a2，求實數(shù)a的取值范圍．

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