Question

14．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處的極小值為-1．
（ I）試求a，b的值，并求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=a有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)極值的定義得出a，b的值，利用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的極值，根據(jù)極值求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-6ax+2b
∵在x=1處的極值為-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）=-1\\{f^'}（1）=0\end{array}\right.∴\left\{\begin{array}{l}1-3a+2b=-1\\ 3-6a+2b=0\end{array}\right.∴\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∴f′（x）=3x²-2x-1
當(dāng)f′（x）≥0時(shí)，$x≤-\frac{1}{3}$或x≥1，
∴增區(qū)間為$（{-∞，-\frac{1}{3}}]，[{1，+∞}）$
當(dāng)f′（x）≤0時(shí)，$-\frac{1}{3}≤x≤1$，
∴減區(qū)間為$[{-\frac{1}{3}，1}]$
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
當(dāng)$x=-\frac{1}{3}$時(shí)，f（x）取極大值為$\frac{5}{27}$，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取極大值為-1
∴當(dāng)$-1＜a＜\frac{5}{27}$時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=a有三個(gè)不同的實(shí)根．

點(diǎn)評 考查了極值的定義和極值的應(yīng)用，難點(diǎn)是對極值的深刻理解．