Question

12．已知f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，（x-1）f′（x）-f（x）＞0恒成立，若a=f（2），b=$\frac{1}{2}$f（3），c=$\frac{1}{{\sqrt{2}-1}}f（\sqrt{2}）$，則a，b，c的大小關(guān)系是（　�。�

• A． c＜a＜b
• B． a＜b＜c
• C． b＜a＜c
• D． a＜c＜b

Answer 1

分析 結(jié)合題意設(shè)F（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)F（x）的單調(diào)性，從而求出a，b，c的大小即可．

解答 解：設(shè)$F（x）=\frac{f（x）}{x-1}$，
則F'（x）=$\frac{f′（x）（x-1）-f（x）}{{（x-1）}^{2}}$＞0，
所以函數(shù)F（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
$a=f（2）=（2-1）F（2）=F（2），b=\frac{1}{2}f（3）=\frac{1}{2}（3-1）F（3）=F（3）$，
$c=\frac{1}{{\sqrt{2}-1}}（\sqrt{2}-1）F（\sqrt{2}）=F（\sqrt{2}）$，
則c＜a＜b，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)F（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．