Question

已知函數(shù)f（x）=

1+lnx

x

 
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）如果當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）求證[（n+1）!]²＞（n+1）e^n-2  （n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出其極值；
（2）不等式f（x）≥

k

x+1

，即為

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）的最小值，利用導(dǎo)數(shù)即可求得；
（3）利用（2）問(wèn)結(jié)論可得一不等式，在該不等式中令x=n（n+1），然后由此不等式進(jìn)行放縮，累加各不等式可證明不等式．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=

1+lnx

x

，x＞0，則f′（x）=-

lnx

x2

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值f（1）=1，無(wú)極小值．
（2）不等式f（x）≥

k

x+1

，即為

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，
記g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，則g′（x）=

[(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+lnx)

x2

=

x-lnx

x2

，
令h（x）=x-lnx，則h′（x）=1-

1

x

，
∵x≥1，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，從而g′（x）＞0，故g（x）在[1，+∞）上也單調(diào)遞增，
所以[g（x）]_min=g（1）=2，
所以k≤2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，2]．
（3）由（2）知：f（x）≥

2

x+1

恒成立，即lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

，
令x=n（n+1），則ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，
所以ln（1×2）＞1-

2

1×2

，ln（2×3）＞1-

2

2×3

，ln（3×4）＞1-

2

3×4

，…，ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，
疊加得：ln[1×2²×3²×…×n²（n+1）]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]=n-2（1-

1

n+1

）＞n-2+

1

n+1

＞n-2．
則1×2²×3²×…×n²（n+1）＞e^n-2，
所以[（n+1）!]²＞（n+1）e^n-2（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，考查恒成立問(wèn)題，恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值處理，證明不等式常用方法：一是利用函數(shù)最值；一是構(gòu)造函數(shù)．本題綜合性強(qiáng)，難度大．