分析 (1)求出函數(shù)的定義域,求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)設(shè)g(x)=$\frac{2}{3}$x3-$\frac{1}{2}$x2-lnx(x>1),求出g(x)的導數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到g(x)>g(1),證出結(jié)論即可.
解答 解。1)f(x)的定義域為(0,+∞),由題意得f′(x)=x-$\frac{a}{x}$(x>0),
∴當a≤0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).
當a>0時,f′(x)=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{x2-a}{x}$=$\frac{?x-\sqrt{a}??x+\sqrt{a}?}{x}$.
∴當0<x<$\sqrt{a}$時,f′(x)<0,當x>$\sqrt{a}$時,f′(x)>0.
∴當a>0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為($\sqrt{a}$,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,$\sqrt{a}$).
(2)設(shè)g(x)=$\frac{2}{3}$x3-$\frac{1}{2}$x2-lnx(x>1),
則g′(x)=2x2-x-$\frac{1}{x}$.
∵當x>1時,g′(x)>0,
∴g(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),
∴g(x)>g(1)=$\frac{1}{6}$>0.
即$\frac{2}{3}$x3-$\frac{1}{2}$x2-lnx>0,
故當x>1時,$\frac{2}{3}$x3>$\frac{1}{2}$x2+lnx成立.
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題,考查導數(shù)的應用以及不等式的證明,是一道中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 函數(shù)y=|x|有極大值,但無極小值 | B. | 函數(shù)y=|x|有極小值,但無極大值 | ||
C. | 函數(shù)y=|x|既有極大值又有極小值 | D. | 函數(shù)y=|x|無極值 |
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A. | $\sqrt{2}$ | B. | $2\sqrt{2}$ | C. | $3\sqrt{2}$ | D. | $4\sqrt{2}$ |
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