Question

18．命題：“?b∈R，使直線y=-x+b是曲線y=x³-3ax的切線”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $a＜\frac{1}{3}$
• B． $a≤\frac{1}{3}$
• C． $a＞\frac{1}{3}$
• D． $a≥\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由題意，存在實(shí)數(shù)a，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，直線y=-x+b都不是曲線y=x³-3ax的切線．由直線y=-x+b得直線斜率為-1，直線y=-x+b不與曲線f（x）相切知曲線f（x）上任一點(diǎn)斜率都不為-1，即f′（x）≠-1，求導(dǎo)函數(shù)，并求出其范圍[-3a，+∞），得不等式-3a＞-1，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意，存在實(shí)數(shù)a，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，直線y=-x+b都不是曲線y=x³-3ax的切線．
設(shè)f（x）=x³-3ax，求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵存在實(shí)數(shù)a，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，直線y=-x+b都不是曲線y=x³-3ax的切線，
∴-1∉[-3a，+∞），∴-3a＞-1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜$\frac{1}{3}$
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．