Question

18．（理）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，EF=CE，AB=$\sqrt{2}$EF．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，則在平面BDE中，可以先證明四邊形AGEF為平行四邊形，得到EG∥AF，就可證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）連接FG，可得平行四邊形CEFG為菱形，求出CF⊥EG，又四邊形ABCD為正方形，可得BD⊥AC，進(jìn)一步求出BD⊥平面ACEF，就可以得到CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由（II）知，$\overrightarrow{CF}$是平面BDE的一個(gè)法向量，再利用平面ABE的法向量n•$\overrightarrow{BA}$=0，n$•\overrightarrow{BE}$=0，求出平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$，就可以求出二面角A-BE-D的大小．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)AC于BD交于點(diǎn)G，
∵EF∥AG，且EF=1，AG=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴四邊形AGEF為平行四邊形，
∴AF∥EG．
∵EG?面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE；
（Ⅱ）證明：連接FG，∵EF∥CG，EF=CG=CE，∴平行四邊形CEFG為菱形，∴CF⊥EG．
∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC．
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，
∴BD⊥平面ACEF．
∴CF⊥BD．又BD∩EG=G，
∴CF⊥平面BDE；
（III）解：令EF=CE=1，則AB=$\sqrt{2}$．如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
由（II）知，$\overrightarrow{CF}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）是平面BDE的一個(gè)法向量．
 設(shè)平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則n•$\overrightarrow{BA}$=0，n$•\overrightarrow{BE}$=0．
即$\left\{\begin{array}{l}{（x，y，z）•（\sqrt{2}，0.0）}\\{（x，y，z）•（0．-\sqrt{2}，0）}\end{array}\right.$，
∴x=0，且z=$\sqrt{2}$y．令y=1，則z=$\sqrt{2}$．
∴n=（0，1，$\sqrt{2}$）．
從而cos（n，$\overrightarrow{CF}$）=$\frac{n•\overrightarrow{CF}}{|n||\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵二面角A-BE-D為銳角，
∴二面角A-BE-D的大小為$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和平面垂直的判定和性質(zhì)和線面平行的推導(dǎo)以及二面角的求法，在證明線面平行時(shí)，其常用方法是在平面內(nèi)找已知直線平行的直線，當(dāng)然也可以用面面平行來(lái)推導(dǎo)線面平行，是中檔題．