Question

已知與直線l：4x+3y-5=0切于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)于一切x∈[2，5]，總存在x₁∈[m，n]，使f（x）=g（x₁）成立，求n-m的最小值．

Answer 1

解：（1）由題意，f（2）=-1，f′（2）=-
∵，
∴
∴，
解得a=-3，b=-1，
∴
（2）∵，∴，x≠
令0，可得0＜x＜，或；令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞1；
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為（0，），（，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞）
（3）對(duì)于一切x∈[2，5]，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，所以
，要使總存在x₁∈[m，n]，使f（x）=g（x₁）成立，則
∴
∴
當(dāng)時(shí)，n-m的最小值為．
分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用f（2）=-1，f′（2）=-，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，令0，可得函數(shù)的遞增區(qū)間；令f′（x）＜0，可得單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）對(duì)于一切x∈[2，5]，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，可得，要使總存在x₁∈[m，n]，使f（x）=g（x₁）成立，則，由此可求n-m的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查存在性問(wèn)題，正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．