Question

已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d（d 0）．在之間和b,c之間共插入個實數(shù)，使得這個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，其公比為q．
（1）求證：；
（2）若，求的值；
（3）若插入的n個數(shù)中，有s個位于a,b之間，t個位于b,c之間，且都為奇數(shù)，試比較s與t的大小，并求插入的n個數(shù)的乘積（用表示）.

Answer 1

解：（1）由題意知，，         
又，可得，         ………………………………2分
即，故，又是正數(shù)，故．………………………………4分
（2）由是首項為1、公差為的等差數(shù)列，故，
若插入的這一個數(shù)位于之間，則，，
消去可得，即，其正根為．………7分
若插入的這一個數(shù)位于之間，則，，
消去可得，即，此方程無正根．
故所求公差．　　　　　　　　 　………………………………………9分
（3）由題意得，，又，
故，可得，又，
故，即．
又，故有，即．　 　………………………………………12分
設個數(shù)所構(gòu)成的等比數(shù)列為，則，
由…，，可得
……， ……………………14分
又，，
由都為奇數(shù)，則q既可為正數(shù)，也可為負數(shù)，
①若q為正數(shù)，則…，插入n個數(shù)的乘積為；
②若q為負數(shù)，…中共有個負數(shù)，
故…，所插入的數(shù)的乘積為．
所以當N*)時，所插入n個數(shù)的積為；
當N*）時，所插入n個數(shù)的積為． …………………18分
（另法：由又，，
由都為奇數(shù)，可知是偶數(shù)，q既可為正數(shù)也可為負數(shù)．
……　        
①若q為正數(shù)，則…，
故插入n個數(shù)的乘積為；                       …………………15分
②若q為負數(shù)，由是偶數(shù)，可知的奇偶性與的奇偶性相同，
可得…．
所以當N*)時，所插入n個數(shù)的積為；
當N*）時，所插入n個數(shù)的積為．　…………………18分）

略