A. | [$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1) | B. | [$\frac{\sqrt{6}}{3}$,1) | C. | (0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$] | D. | (0,$\frac{\sqrt{6}}{3}$] |
分析 由題意可知:則tan∠AQB=$\frac{{k}_{QA}-{k}_{QB}}{1+{k}_{QA}•{k}_{QB}}$=-$\sqrt{3}$,即$\frac{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}}{1-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}•\frac{{y}_{0}}{x+a}}$=-$\sqrt{3}$,求得$\frac{2a{y}_{0}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}+{y}_{0}^{2}}$=-$\sqrt{3}$,①,由y0=a2(1-$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$),代入求得y0,由0<y0≤b,代入即可求得橢圓離心率e的取值范圍.
解答 解:由對(duì)稱性不防設(shè)Q在x軸上方,Q坐標(biāo)為(x0,y0),
則tan∠AQB=$\frac{{k}_{QA}-{k}_{QB}}{1+{k}_{QA}•{k}_{QB}}$=-$\sqrt{3}$,即$\frac{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}}{1-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}•\frac{{y}_{0}}{x+a}}$=-$\sqrt{3}$,
整理得:$\frac{2a{y}_{0}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}+{y}_{0}^{2}}$=-$\sqrt{3}$,①
∵Q在橢圓上,
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$,即y0=a2(1-$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$),代入①得y0=$\frac{2a^{2}}{\sqrt{3}{c}^{2}}$,
∵0<y0≤b,
∴0<$\frac{2a^{2}}{\sqrt{3}{c}^{2}}$≤b,由b2=a2-c2,
化簡(jiǎn)整理得:3e4+4e2-4≥0,
解得:e2≥$\frac{2}{3}$,或e≤-2(舍去),
由0<e<1,
∴$\frac{\sqrt{6}}{3}$≤e<1,
故選B.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線的斜率公式,考查橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | (0,$\frac{1}{e}$) | B. | (0,e) | C. | (-∞,$\frac{1}{e}$) | D. | (0,$\frac{1}{e}$] |
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A. | 3,3 | B. | 4,3 | C. | 6,3 | D. | 8,3 |
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A. | $\frac{1}{16}$ | B. | $\frac{1}{8}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{3}{16}$ |
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