Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）記，是的導(dǎo)函數(shù)，如果是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且滿足，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】分析：（1）取出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可；

（2）求出，令，則，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

詳解：（1）的定義域?yàn)?/span>，

.

設(shè)，為二次函數(shù)，對(duì)稱軸，且恒過(guò)點(diǎn)，

（i）當(dāng)時(shí),，所以，在上單調(diào)遞減；

（ii）當(dāng)時(shí)，

令，可得，.

若時(shí)， .

當(dāng)時(shí)，，；時(shí)，，.所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，,.

對(duì)任意，，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，.

當(dāng)時(shí)，，；時(shí)，，.

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

（2），.

將

兩式相減，整理得，

即，

所以

令，，

則，

所以在上單調(diào)遞減，故

又，所以.