如圖,四面體中,、分別是、的中點(diǎn),
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的余弦值;
(3)求點(diǎn)到平面的距離。
(1)證明:連結(jié)OC.
∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD.∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD.
在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=.
而AC=2,∴AO2+CO2=AC2,∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.
∴AB平面BCD.
(Ⅱ)解:取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)OM、ME、OE,由E為BC的中點(diǎn)知ME∥AB,OE∥DC.
∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.
在△OME中,
是直角△AOC斜邊AC上的中線,∴
∴∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為
(Ⅲ)解:設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h.
, ∴·S△ACD =·AO·S△CDE.
在△ACD中,CA=CD=2,AD=,∴S△ACD=
而AO=1, S△CDE=∴h=
∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為.
方法二:(Ⅰ)同方法一:
(Ⅱ)解:以O為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),D(-1,0,0),
C(0,,0),A(0,0,1),E(,,0),
∴
∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為
(Ⅲ)解:設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),則
∴
令y=1,得n=(-)是平面ACD的一個(gè)法向量. 又
∴點(diǎn)E到平面ACD的距離 h=
【解析】略
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分13分)如圖,四面體中,是的中點(diǎn),,.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求異面直線與所成角的大。
(Ⅲ)求二面角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆安徽池州第一中學(xué)高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,四面體中,、分別是、的中點(diǎn),
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的正切值;
(Ⅲ)求點(diǎn)到平面的距離.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年湖南省懷化市高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,四面體中,、分別是、的中點(diǎn),
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求異面直線與所成角余弦值的大;
(Ⅲ)求點(diǎn)到平面的距離.
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