Question

已知等差數列{a_n}的前n項的和為60，且a₁，a₆，a₂₁成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}的前n項和S_n滿足S_n+1-S_n=a_n（n∈N^*），且b₁=5，求S_n及數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）設出等差數列的公差為d，由等差數列{a_n}的前6項和為60，且a₆為a₁和a₂₁的等比中項，根據等差數列的性質及前n項和公式列出關于a₁和d的方程組，求出方程組的解即可得到a₁和d的值，進而寫出通項公式a_n及前n項和S_n．
（2）法1，利用累加法先求出數列{S_n}的通項公式，再求出數列{b_n}的通項公式，
法2，由S_n+1-S_n=a_n=b_n+1，先求出數列{b_n}的通項公式，再求S_n．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，則
則

6a1+15d=60 a1(a1+20d)=(a1+5d)2

解得

d=2 a1=5.

或

d=0 a1=10

∴a_n=2n+3．或a_n=10．
（2）當a_n=2n+3時，
∵S_n+1-S_n=a_n
∴當n≥2時S_n-S_n-1=a_n-1
S_n-1-S_n-2=a_n-2
…
S₃-S₂=a₂
S₂-S₁=a₁
∴S_n=S₁+a₁+a₂+…+a_n-1
=5+

[5+2(n-1)+3](n-1)

2

=n²+2n+2．
又S₁=b₁=5也適合上式，所以∴S_n=n²+2n+2
∵當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=2n+1，
b₁=5不適合上式，
所以bn=

5     n=1 2n+1  n≥2

當a_n=10時，數列{S_n}是以5為首項，以10為公差的等差數列，得出S_n=5+10（n-1）=10n-5
當n≥2時b_n=S_n-S_n-1=10，b₁=5不適合上式
∴bn=

5     n=1 10   n≥2

．
另解（2）由S_n+1-S_n=a_n=b_n+1
a_n=2n+3時，b_n+1=2n+3=2（n+1）+1
當n≥2時b_n=2n+1，b₁=5
所以bn=

5     n=1 2n+1  n≥2

當n≥2時，Sn=5+

[5+(2n+1)](n-1)

2

=n²+2n+2．
S₁=b₁=5也適合上式，所以∴S_n=n²+2n+2
當a_n=10時，b_n+1=a_n=10，又b₁=5
∴bn=

5     n=1 10   n≥2

．
S_n=5+10（n-1）=10n-5

點評：本題考查等差數列、等比數列的定義、性質、判定以及通項公式求解，數列求和．考查分類討論、轉化、計算等能力．