Question

已知奇函數(shù)f(x)=1+

m

4x+1

．
（1）求m的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（3）解不等式f（x-1）+f（2-3x）＞0．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義有f（-x）+f（x）=0，由此可求得m值；
（2）定義法：設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，由函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷函數(shù)單調(diào)性；
（3）由函數(shù)奇偶性、單調(diào)性可去掉不等式f（x-1）+f（2-3x）＞0中的符號(hào)“f”，從而得到具體不等式，解出即可；

解答：解：（1）f(x)=1+

m

4x+1

，
因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（x）+f（-x）=0，
即1+

m

4x+1

+1+

m

4-x+1

=0，2+

m

4x+1

+

m•4x

1+4x

=0，2+

m(1+4x)

1+4x

=0，2+m=0，m=-2． 
（2）設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

4x1+1

-(1-

2

4x2+1

)=

2

4x2+1

-

2

4x1+1

=

2(4x1-4x2)

(4x1+1)(4x2+1)

．
因?yàn)閥=4^x在R上是增函數(shù)，且x₁＜x₂，
所以4x1＜4x2，所以4x1-4x2＜0，
又4x1+1＞0，4x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）是R上的增函數(shù)．      
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為增函數(shù)又是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（x-1）＞f（3x-2），
所以x-1＞3x-2，解得x＜

1

2

，
所以原不等式的解集為{x|x＜

1

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用，考查解不等式，對(duì)于抽象不等式的求解往往利用函數(shù)性質(zhì)去掉符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為具體不等式解決，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想．