Question

8．已知函數(shù)f（x）=a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）及$B（\frac{π}{2}，1）$
（1）已知b＞0，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）已知$x∈（0，\frac{π}{2}）$時，|f（x）|≤2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a取上述范圍內(nèi)的最大整數(shù)值時，若有實(shí)數(shù)m，n，φ，使得mf（x）+nf（x-φ）=1對于x∈R恒成立，求m，n，φ的值．

Answer 1

分析 由已知列式得到b，c與a的關(guān)系，把函數(shù)解析式用含有a的代數(shù)式表示．
（1）直接利用與正弦函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，則y=$\sqrt{2}$（1-a）t+a，由x得范圍得到t的范圍，然后對1-a＞0、1-a=0、1-a＜0分類討論求解得答案；
（3）由題意知a=8，則由mf（x）+nf（x-φ）=1得8（m+n）-7$\sqrt{2}$msin（x+$\frac{π}{4}$）-7$\sqrt{2}$nsin（x+$\frac{π}{4}$-φ）=1．令x+$\frac{π}{4}$=X，得8（m+n）-7$\sqrt{2}$（m+ncosφ）sinX+7$\sqrt{2}$nsinφcosX=1．
要使上式對任意X恒成立，則有$\left\{\begin{array}{l}{8（m+n）=1}\\{m+ncosφ=0}\\{nsinφ=0}\end{array}\right.$，由此求得答案．

解答 解：由題意可得，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=a+b=1}\\{f（\frac{π}{2}）=a+c=1}\end{array}\right.$，則b=c=1-a，
∴f（x）=（1-a）（sinx+cosx）+a=$\sqrt{2}$（1-a）sin（x+$\frac{π}{4}$）+a．
（1）∵1-a=b＞0，由2kπ+$\frac{π}{2}$＜x+$\frac{π}{4}$＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，得：2kπ+$\frac{π}{4}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{4}$，
∴f（x）的遞減區(qū)間為[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$]，k∈Z；
（2）設(shè)sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，則y=$\sqrt{2}$（1-a）t+a，
∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），則t∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
①當(dāng)1-a＞0時，f（x）∈（1，$\sqrt{2}$（1-a）t+a]，此時|f（x）|≤2恒成立，
只需$\sqrt{2}$（1-a）t+a≤2，得a∈[-$\sqrt{2}$，1）；
②當(dāng)1-a=0時，f（x）=1，滿足題意；
②當(dāng)1-a＜0時，f（x）∈[$\sqrt{2}$（1-a）t+a，1），此時|f（x）|≤2恒成立，
只需$\sqrt{2}$（1-a）t+a≥-2，得a∈（1，4+3$\sqrt{2}$]．
綜上所述，a的取值范圍為[-$\sqrt{2}$，4+3$\sqrt{2}$]．
（3）可得a=8，則f（x）=8-7$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）．
由mf（x）+nf（x-φ）=1得8（m+n）-7$\sqrt{2}$msin（x+$\frac{π}{4}$）-7$\sqrt{2}$nsin（x+$\frac{π}{4}$-φ）=1．
令x+$\frac{π}{4}$=X，得8（m+n）-7$\sqrt{2}$（m+ncosφ）sinX+7$\sqrt{2}$nsinφcosX=1．
要使上式對任意X恒成立，則有$\left\{\begin{array}{l}{8（m+n）=1}\\{m+ncosφ=0}\\{nsinφ=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{sinφ=0}\\{cosφ=1}\\{m=n=\frac{1}{16}}\end{array}\right.$．
所以m=$\frac{1}{16}$，n=$\frac{1}{16}$，φ=2kπ+π，k∈Z．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)值的恒等變換應(yīng)用，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓(xùn)練了函數(shù)恒成立問題的求解方法，是中檔題．