Question

8．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
（1）求直線PC與平面PBD所成角的正弦值；
（2）求二面角A-PD-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，過O作AB的平行線為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線PC與平面PBD所成角的正弦值；
（2）求出平面PBD的法向量和平面APD的法向量，利用向量法能求出二面角A-PD-B的平面角的余弦值．

解答 解：（1）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，
∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，
側(cè)面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
∴以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，過O作AB的平行線為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2，則P（0，0，$\sqrt{3}$），C（-1，2，0），
B（1，2，0），D（-1，0，0），
$\overrightarrow{PC}$=（-1，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+2y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
設(shè)直線PC與平面PBD所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}•\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{42}}{14}$．
∴直線PC與平面PBD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{42}}{14}$．
（2）∵設(shè)平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}，\sqrt{3}$，1），
平面APD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設(shè)二面角A-PD-B的平面角為α，
∴cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面角A-PD-B的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評 本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力．