Question

長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線和同一頂點(diǎn)上的三條棱中的兩條所成的角為60°、45°，則它和另一條棱所成的角為（　�。�

• A、30°
• B、60°
• C、45°
• D、不確定

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：作出長(zhǎng)方體，取對(duì)角線A₁C，連接AC、D₁C、B₁C，不妨設(shè)對(duì)角線A₁C與棱A₁D₁所成的角∠CA₁D₁=45°，對(duì)角線A₁C與棱A₁B₁所成的角∠CA₁B₁=60°，設(shè)A₁D₁=a，由三角形的知識(shí)可表示出AC和A₁C，由三角函數(shù)的定義可得所求角的正弦值，可得答案．

解答： 解：如圖，取對(duì)角線為A₁C，連接AC、D₁C、B₁C，
不妨設(shè)對(duì)角線A₁C與棱A₁D₁所成的角∠CA₁D₁=45°，
對(duì)角線A₁C與棱A₁B₁所成的角∠CA₁B₁=60°，
設(shè)A₁D₁=a，在RT△CA₁D₁中可得A₁C=

2

a，
同理在RT△CA₁B₁中可得A₁B₁=

2

2

a，
可得AC=

a2+( 2 2 a)2

=

6

2

a，
∴在△A₁AC中，sin∠AA₁C=

AC

A1C

=

3

2

，
∴∠AA₁C=60°，即該對(duì)角線和另一條棱所成的角為60°
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成的角，涉及三角形的求解，屬中檔題．