Question

【題目】如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)都是2，面，，分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）推導(dǎo)出，從而平面平面，進(jìn)而平面，，再求出，由此能證明平面．
（2）本問(wèn)方法較多，可用割補(bǔ)法，轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)法，構(gòu)造法等，其中割補(bǔ)法較為方便，將轉(zhuǎn)化為，即可求解.

解：（1）∵，是的中點(diǎn)，

∴，

∵三棱柱中平面，

∴平面平面，且平面平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

又∵在正方形中，，分別是，的中點(diǎn)，

∴，

又，

∴平面.

（2）解法一（割補(bǔ)法）：

.

解法二（利用平行頂點(diǎn)輪換）：

∵，

∴，

∴

.

解法三（利用對(duì)稱頂點(diǎn)輪換）：

連結(jié)，交于點(diǎn)，

∵為的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.

∴

.

解法四（構(gòu)造法）：

連結(jié)，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，再連結(jié).

由題意知在中，，，所以，且，

又，，所以，所以，

又，

∴面，

∴.