Question

【題目】江夏一中高二年級(jí)計(jì)劃假期開展歷史類班級(jí)研學(xué)活動(dòng)，共有6個(gè)名額，分配到歷史類5個(gè)班級(jí)(每個(gè)班至少0個(gè)名額，所有名額全部分完).

（1）共有多少種分配方案？

（2）6名學(xué)生確定后，分成A、B、C、D四個(gè)小組，每小組至少一人，共有多少種方法？

（3）6名學(xué)生來到武漢火車站.火車站共設(shè)有3個(gè)“安檢”入口，每個(gè)入口每次只能進(jìn)1個(gè)旅客，求6人進(jìn)站的不同方案種數(shù).

Answer 1

【答案】（1）210；（2）240；（3）168.

【解析】

（1）將問題轉(zhuǎn)化為不定方程的非負(fù)整數(shù)解問題，再利用隔板原理進(jìn)行求解；

（2）將問題轉(zhuǎn)化為不定方程的正整數(shù)解問題，再利用隔板原理、排列數(shù)公式進(jìn)行求解；

（3）將問題轉(zhuǎn)化為不定方程方程的正整數(shù)解問題，再利用隔板原理、排列數(shù)公式進(jìn)行求解.

（1）由題意得：問題轉(zhuǎn)化為不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，

∴方程又等價(jià)于不定方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，

利用隔板原理得：方程正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，

∴共有多少種分配方案.

（2）將問題轉(zhuǎn)化為不定方程的正整數(shù)解個(gè)數(shù)，分組后再進(jìn)行排列，

∵不定方程的正整數(shù)解個(gè)數(shù)為，

∴共有種方法.

（3）設(shè)6名學(xué)生在3個(gè)安檢的人數(shù)分別為，

∵方程非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)等價(jià)于方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，

∴6人進(jìn)站的不同方案種數(shù)為.