【題目】已知兩定點(diǎn),點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且,記的軌跡是
(1)求曲線的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)引直線交曲線于兩點(diǎn),設(shè),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,證明直線過(guò)定點(diǎn).
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
設(shè),根據(jù)條件列方程化簡(jiǎn)即可;(2)先探究特殊性,當(dāng)點(diǎn)Q為橢圓的上頂
點(diǎn)(0,)時(shí),直線RN過(guò)定點(diǎn)P(4,0).再討論一般情形,設(shè)直線l:點(diǎn)R,N,P三點(diǎn)共線,因此直線RN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(4,0).
(1)設(shè),,,
則,,
由于,
即,設(shè),,
則,點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)的橢圓,
故,,,
所以,動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為:.
如圖所示,
先探究特殊性,當(dāng)點(diǎn)Q為橢圓的上頂點(diǎn)(0,)時(shí),直線l:,
聯(lián)立直線和橢圓方程得,
直線RN:令y=0,得x=4,
所以直線RN過(guò)定點(diǎn)P(4,0).
下面證明一般情形:
設(shè)直線l:
聯(lián)立,
判別式
所以
即,
設(shè),于是,
,
又,
解得,
所以,
所以點(diǎn)R,N,P三點(diǎn)共線,因此直線RN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(4,0).
綜上,直線RN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(4,0).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】國(guó)內(nèi)某知名企業(yè)為適應(yīng)發(fā)展的需要,計(jì)劃加大對(duì)研發(fā)的投入,據(jù)了解,該企業(yè)原有100名技術(shù)人員,年人均投入萬(wàn)元,現(xiàn)把原有技術(shù)人員分成兩部分:技術(shù)人員和研發(fā)人員,其中技術(shù)人員名(且),調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加%,技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為萬(wàn)元.
(1)要使這名研發(fā)人員的年總投入恰好與調(diào)整前100名技術(shù)人員的年總投入相同,求調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù);
(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù),使得調(diào)整后,在技術(shù)人員的年人均投入不減少的情況下,研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入?若存在,求出的范圍,若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線過(guò)點(diǎn),是拋物線上不同兩點(diǎn),且(其中是坐標(biāo)原點(diǎn)),直線與交于點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.
(Ⅰ)求拋物線的準(zhǔn)線方程;
(Ⅱ)求證:直線與軸平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)說(shuō)法,其中正確的是( )
A.命題“若,則”的否命題是“若,則”
B.“”是“雙曲線的離心率大于”的充要條件
C.命題“,”的否定是“,”
D.命題“在中,若,則是銳角三角形”的逆否命題是假命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F,直線l過(guò)點(diǎn).
(1)若點(diǎn)F到直線l的距離為,求直線l的斜率;
(2)設(shè)A,B為拋物線上兩點(diǎn),且AB不與x軸垂直,若線段AB的垂直平分線恰過(guò)點(diǎn)M,求證:線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求與的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)與的交點(diǎn)為、,與的交點(diǎn)為、,且,求值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
對(duì)于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列,如果(=1,2,3,…)為完全平方數(shù),則稱數(shù)
列具有“性質(zhì)”.
不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”,如果存在與不是同一數(shù)列的,且同
時(shí)滿足下面兩個(gè)條件:①是的一個(gè)排列;②數(shù)列具有“性質(zhì)”,則稱數(shù)列具有“變換性質(zhì)”.
(I)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和,證明數(shù)列具有“性質(zhì)”;
(II)試判斷數(shù)列1,2,3,4,5和數(shù)列1,2,3,…,11是否具有“變換性質(zhì)”,具有此性質(zhì)的數(shù)列請(qǐng)寫出相應(yīng)的數(shù)列,不具此性質(zhì)的說(shuō)明理由;
(III)對(duì)于有限項(xiàng)數(shù)列:1,2,3,…,,某人已經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí),
數(shù)列具有“變換性質(zhì)”,試證明:當(dāng)”時(shí),數(shù)列也具有“變換性質(zhì)”.
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