Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當時，車流速度是車流密度x的一次函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的表達式；

（Ⅱ）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀點的車輛數(shù)，單位：輛/每小時）可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）。

Answer 1

（1）（2）當時，在區(qū)間[0，200]上取得最大值

【解析】

試題分析：（1）由題可知，當明確函數(shù)類型時，采用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，將題中的相關(guān)數(shù)據(jù)代入，求解出a,b，可得出的解析式；（2）由題可知，本題考查的是一次函數(shù)，二次函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的最值問題，由于一次函數(shù)是遞增的，易得最大值，對于二次函數(shù)采用配方法或者基本不等式法均可，由基本不等式可得出最大值

試題解析：（1）由題意：當；當

再由已知得

故函數(shù)的表達式為

（2）依題意并由（1）可得

當為增函數(shù)，故當時，其最大值為60×20=1200；

當時，

當且僅當，即時，等號成立。

所以，當在區(qū)間[20，200]上取得最大值．

綜上，當時，在區(qū)間[0，200]上取得最大值

即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．

考點：①待定系數(shù)法②基本不等式的應(yīng)用